2018考研數(shù)學(xué)：從矩陣求方冪看命題老師的四板斧

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　　5月初，2018考研需要考數(shù)學(xué)的不少同學(xué)開(kāi)始復(fù)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)。矩陣求方冪是線(xiàn)代的常規(guī)題型，基礎(chǔ)階段便開(kāi)始討論。了解此種題型的考法，可以使同學(xué)的復(fù)習(xí)更有針對(duì)性。下面就和緯宇老師一起見(jiàn)識(shí)下命題老師的四板斧。

　　一、找規(guī)律

　　矩陣求方冪一般求A的n次冪，這必然要找規(guī)律。所以可以說(shuō)找規(guī)律是此類(lèi)題的最根本的方法，后幾種類(lèi)型本質(zhì)上也是根據(jù)矩陣的特征找規(guī)律。

　　找規(guī)律最基本的方法是計(jì)算A的平方、A的三次方總結(jié)規(guī)律。方法不難，但也考過(guò)真題，如1999年數(shù)三真題。

　　二、秩為1的矩陣

　　所謂秩為1的矩陣指非零矩陣且按行按列成比例的矩陣。這種矩陣能以獨(dú)特的方法找規(guī)律：

　　1.將矩陣分解成一列乘一行。

　　2.計(jì)算A的平方，A的三次方，總結(jié)規(guī)律。

　　3.按照規(guī)律寫(xiě)出A的n次冪的表達(dá)式。

　　詳見(jiàn)1994年數(shù)一真題。

　　三、特殊的上三角或下三角

　　特殊的上三角矩陣指：主對(duì)角線(xiàn)元素相等的上三角矩陣。類(lèi)似理解特殊的下三角矩陣。此種矩陣可按如下方法算方冪：

　　1.將該矩陣分解成一個(gè)數(shù)量陣和另一個(gè)矩陣的和，則A的n次冪等于A分解出的兩個(gè)矩陣的和的n次冪。

　　2.利用二項(xiàng)式定理。

　　四、有相似關(guān)系

　　已知兩個(gè)矩陣相似，求其中一個(gè)矩陣的n次冪。根據(jù)相似的定義，不難寫(xiě)出兩個(gè)矩陣的等式關(guān)系。這就意味著一個(gè)矩陣能由另一個(gè)矩陣表示。進(jìn)而一個(gè)矩陣的n次冪若不好直接算，就可以利用這兩個(gè)矩陣的關(guān)系式，用另一個(gè)矩陣的n次冪表示(具體地，可以算A的平方、A的三次方找規(guī)律)。

　　至此，命題老師的四板斧用完了?？赡苡型瑢W(xué)說(shuō)：“命題老師水平也不過(guò)如此嘛，我識(shí)別出這四招，相應(yīng)出招不就行了?”不可小瞧命題老師!請(qǐng)看2016年數(shù)一、二三這道真題。

　　已知A為一個(gè)數(shù)值型3階方陣(9個(gè)元素均已知)，求A的99次冪。

　　這里有個(gè)真實(shí)的故事:當(dāng)年考完結(jié)束后，我去上海出差，在高鐵上碰到了一位參加復(fù)試的同學(xué)。這位同學(xué)已通過(guò)了一所985高校的初試。我首先祝賀他高分通過(guò)初試，接著問(wèn)他數(shù)學(xué)考得怎樣。他說(shuō)：“別提了，我本打算數(shù)三考個(gè)一百三，結(jié)果只考了一百一十來(lái)分……”。 “哪個(gè)題感覺(jué)難?”“算99次冪的那個(gè)，開(kāi)始沒(méi)思路，后來(lái)算著算著不敢寫(xiě)了，數(shù)太大了……”

　　能給這位實(shí)力考生來(lái)個(gè)下馬威，命題老師的四板斧不簡(jiǎn)單!

　　這個(gè)題屬于求方冪的題。功底扎實(shí)并總結(jié)了題型的考生懂得按照題型排除：是否為找規(guī)律的?算個(gè)平方試試，感覺(jué)不可行。是否為秩為1的矩陣?已知矩陣不是按行按列成比例的，所以也不行。至于能用二項(xiàng)式定理算方冪，那得是特殊的上三角和下三角!而本題也不符合。只剩最后一種可能了：利用相似算方冪。

　　如果知道矩陣的相似關(guān)系，那本題就屬于簡(jiǎn)單題。但本題沒(méi)有告訴相似關(guān)系，所以難度陡然上升!不過(guò)仍有少數(shù)考生“真金不怕火煉”，想到考慮這個(gè)矩陣能否與對(duì)角矩陣相似，如果可以，那求出可逆陣和對(duì)角陣，進(jìn)而利用相似算方冪……我似乎看到了命題老師露出了滿(mǎn)意的微笑。

　　至此，我們對(duì)命題老師的四板斧有了大致的了解：若題型屬于歷年真題中的常規(guī)題型，且有提示條件，那就是常規(guī)招數(shù);若屬于歷年真題中的常規(guī)題型，但無(wú)提示條件，那就是大招，需要考生主動(dòng)創(chuàng)造條件，解決問(wèn)題!

　　(跨考教育數(shù)學(xué)教研室 劉瑋宇)

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