2020考研數(shù)學(xué)之向量組與線性方程組

　　現(xiàn)在已是六月中旬了，今天我們來(lái)說(shuō)一下關(guān)于向量組與線性方程組這一塊的內(nèi)容。向量組與線性方程組是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，也是咱們理解和學(xué)習(xí)整個(gè)線代這門(mén)課的樞紐。這一章節(jié)內(nèi)容是考研的重點(diǎn)，一般每年考查一道大題和一道小題，大概在15分左右。

　　向量組這一部分主要是兩大題型：1、判斷一個(gè)向量是否可以用一組向量來(lái)線性表出。2、判斷一組向量的線性相關(guān)性。

　　首先我們來(lái)說(shuō)一下對(duì)于判斷一個(gè)向量是否能由一組向量來(lái)線性表出的方法，我們分為數(shù)值型向量組和抽象型向量組來(lái)說(shuō)。對(duì)于數(shù)值型向量組我們是借助于非齊次線性方程組的解來(lái)判斷一個(gè)向量是否由一組向量來(lái)表出的。把向量組以列的形式組成系數(shù)矩陣，然后來(lái)判別非齊次線性方程組解的情況。若非齊次線性方程有唯一解，則對(duì)應(yīng)于可以表出，并且表示方法唯一;若非齊次線性方程組有無(wú)窮多解，則對(duì)應(yīng)于可以表出并且表示方法不是唯一的;若非齊次線性方程組無(wú)解，則說(shuō)明不能夠表出。對(duì)于抽象型線性表出問(wèn)題，我們可以通過(guò)相關(guān)定理以及線性表出的定義來(lái)判別，說(shuō)明一個(gè)向量不能由一組向量來(lái)線性表出一般用反證法來(lái)比較方便。

　　線性方程組這一部分內(nèi)容主要包括：線性方程組解的判定、線性方程組解的性質(zhì)、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

　　對(duì)于線性方程組解的判定我們是用系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩來(lái)判定的。齊次線性方程組的解的判定，若系數(shù)矩陣的秩與方程組的未知量的個(gè)數(shù)相同則說(shuō)明只有零解;若系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個(gè)數(shù)則有非零解。若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且與未知量的個(gè)數(shù)相等，則有唯一解;若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個(gè)數(shù)，則有無(wú)窮多解;若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等，則無(wú)解。

　　對(duì)于線性方程組解的性質(zhì)，齊次線性方程組的解的線性組合仍為齊次線性方程組的解;非齊次線性方程組的解的線性組合到底是齊次線性方程組的解還是非齊次線性方程組的解要看線性組合前的系數(shù)之和。若系數(shù)之和等于1，則仍為非齊次線性方程組的解;若系數(shù)之和為0則為齊次線性方程組的解。非齊次線性方程組的解加上齊次線性方程組的解仍為非齊次線性方程組的解。

　　對(duì)于線性方程組解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程組的通解為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的線性組合，而非齊次線性方程組的通解是齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程的特解。

　　齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是求齊次線性方程組與非齊次線性方程組通解的關(guān)鍵。對(duì)于數(shù)值型線性方程組是通過(guò)初等行變換而且只能通過(guò)初等行變換化系數(shù)矩陣或增廣矩陣為行階梯型，然后找出主變量與自由變量以及特解。對(duì)于抽象型線性方程組求通解根據(jù)定義求出基礎(chǔ)解系和特解，然后求出通解的。

　　考研之路仍然很艱辛，希望同學(xué)們繼續(xù)努力加油!

　　(本文為跨考教育教研室吳方方老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)