2018考研數(shù)學(xué)：兩道題測(cè)出高數(shù)復(fù)習(xí)效果

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　　五月初，2018考研數(shù)學(xué)大部隊(duì)已把高數(shù)復(fù)習(xí)完了。復(fù)習(xí)效果如何?下面緯宇老師為各位精選了兩道題(一道真題，一道真題改編題)，構(gòu)成了一個(gè)小的全真模擬測(cè)試。復(fù)習(xí)效果如何，一測(cè)便知。

　　一、試卷

　　2018基礎(chǔ)階全真模擬測(cè)試

　　(時(shí)間：8分鐘;滿分：8分)

　　1.(1993-1改編 4分)求r=(cos2?)的1/2次冪所圍平面圖形的面積。

　　2.(2009-1,2,3 4分)證明拉格朗日中值定理。

　　二、答案

　　1.【答案】1。

　　2【答案】移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)，驗(yàn)證滿足羅爾定理?xiàng)l件，用羅爾定理即得結(jié)論。

　　三、評(píng)價(jià)

　　0分：基礎(chǔ)薄弱。建議利用暑期前的時(shí)間對(duì)照考綱把教材內(nèi)容看一遍，課后習(xí)題做一遍。

　　4分：基礎(chǔ)尚可，但不扎實(shí)。建議利用暑期前的時(shí)間把課后習(xí)題做一遍。

　　8分：基礎(chǔ)牢固?？芍謴?fù)習(xí)線代、概率，或提前進(jìn)入強(qiáng)化階復(fù)習(xí)。

　　四、分析

　　這兩道題一個(gè)是真題，一個(gè)是真題改編題;一個(gè)屬于一元微分，一個(gè)屬于一元積分;一個(gè)是證明題，一個(gè)是計(jì)算題。且均為單一考點(diǎn)題。所以這兩題在一元微積分中有一定代表性，屬于基礎(chǔ)階段的題目。

　　要想有底氣地把第一題做對(duì)，考生須“掌握兩點(diǎn)，弄清兩點(diǎn)”。第一點(diǎn)需要掌握的是?？记€的圖像和方程。教材在定積分應(yīng)用部分列出了不少曲線的圖像和方程，真題考過(guò)的是其中的三個(gè)：雙扭線、星形線和擺線。這三種曲線的圖像和方程要熟悉:看到方程能識(shí)別出曲線類型，畫出曲線圖像，并熟悉曲線的關(guān)鍵性質(zhì)(如雙扭線關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，過(guò)原點(diǎn)在第一象限作切線，其與x軸的夾角為45度)。

　　第二點(diǎn)需要掌握的是極坐標(biāo)系下曲邊三角形的面積公式。該公式等號(hào)右側(cè)為一個(gè)定積分，其中被積函數(shù)簡(jiǎn)記為“1/2曲邊表達(dá)式的平方”。

　　考生若掌握以上兩點(diǎn)，求出正確結(jié)果并不困難。但很難說(shuō)“有底氣”，因?yàn)橛袃蓚€(gè)問(wèn)題多數(shù)考生想不清楚：1. r=(cos2?)的1/2次冪表示的是完整的雙扭線嗎?會(huì)不會(huì)只有一部分?2. 這個(gè)題也沒(méi)有說(shuō)圖形是曲邊三角形，那能看成曲邊梯形，進(jìn)而用直角坐標(biāo)系下曲邊梯形面積公式算面積嗎?

　　花開兩朵，各表一枝。想弄清第一個(gè)問(wèn)題，至少有兩個(gè)辦法：幾何法和代數(shù)法。前者指取幾個(gè)特殊點(diǎn)驗(yàn)證(比如從雙扭線圖像上取幾個(gè)特殊點(diǎn)，代入r=(cos2?)的1/2次冪看等號(hào)是否成立。具體地，令?分別等于-pi/4,0, pi/4,3 pi/4, pi ,5pi/4,解出r的值，進(jìn)而得到6個(gè)特殊點(diǎn))。后者指利用代數(shù)表達(dá)式推出?的范圍，進(jìn)而確定圖像(令cos2?>=0，解出?的范圍kpi-pi/4<= ?<= kpi+pi/4，則k取0和1即對(duì)應(yīng)雙扭線的完整圖像)。

　　想弄清第二個(gè)問(wèn)題，可以在紙上畫三個(gè)圖：雙扭線，曲邊梯形和曲邊三角形。將第一幅圖和后兩幅圖對(duì)比，不難看出雙扭線是曲邊梯形的特殊形式(曲邊梯形的左側(cè)邊長(zhǎng)度為0，且和坐標(biāo)原點(diǎn)重合，右側(cè)邊長(zhǎng)度為0)，也是曲邊三角形的特殊形式。那雙扭線所圍圖形的面積能用曲邊梯形面積公式嗎?請(qǐng)先寫出雙扭線的直角坐標(biāo)方程：出現(xiàn)了y的四次方和二次方，想把y解出來(lái)太困難!那就宣告了此路不通。

　　至于第二題，教材上有完整證明過(guò)程。該題屬于中值定理大家族，歷年真題中?？甲C明大題，近年來(lái)沉寂了數(shù)年后又重出江湖!要求考生在基礎(chǔ)階段把該部分的幾個(gè)關(guān)鍵定理(費(fèi)馬、羅爾、拉格朗日、柯西)定理內(nèi)容會(huì)表述，會(huì)證明。

　　讀到此處的考生想必已對(duì)自己的水平有了大致的認(rèn)識(shí)，這也就為后續(xù)復(fù)習(xí)提供的依據(jù)?？佳惺且粓?chǎng)馬拉松，一時(shí)的領(lǐng)先和落后對(duì)最終結(jié)果有影響，但不是決定性的。相信已選擇了遠(yuǎn)方的你，會(huì)懂得風(fēng)雨兼程的。

　　(跨考教育數(shù)學(xué)教研室 劉瑋宇)

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