微分方程內容概要與重難點提示

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常微分方程的研究對象就是常微分方程解的性質與求法.跨考教育數(shù)學教研室郭靜娟老師提醒考生，在復習這一章節(jié)時主要有兩個問題，一是根據實際問題和所給條件建立含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)的方程及相應的初始條件;二是求解方程，包括方程的通解和滿足初始條件的特解.

1.關于列方程

有關微分方程的應用題，首先是建立方程，這要根據題意，分析條件，搞清問題所涉及到的基本物理或幾何量的意義，并結合其他相關知識，通過邏輯推理等綜合手段，使問題得到解決.

列方程，建立數(shù)學模型，是考查考生綜合應用能力的重要方面，是考試的重點內容之一，同時也是考生的難點，考生要通過練習，結合自己的實際，總結建立微分方程的步驟及注意事項(例如正負號的處理).

有些微分方程可能是數(shù)學問題中提供的，例如有的微分方程是由積分方程提出的，有的來自線積分與路徑無關的充要條件，或微分式子是某個原函數(shù)的全微分.此時應轉化成微分方程來求解，同時還應注意到所給條件中可能還提供了函數(shù)的某個函數(shù)值、導數(shù)值(即初始條件)等信息.

2.關于解方程

首先，應掌握方程類型的判別，因為不同類型的方程有不同的解法，同一個方程，可能屬于多種不同的類型，則應選擇較易求解的方法.對于一階方程，通常可按可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的順序進行，特別是一階線性方程和伯努利方程還應注意到有時可以以x為因變量，y為自變量得到，對于高階方程，一般可按線性方程、歐拉方程、高階可降階的方程進行，

第二，是求解方程，不同類型的方程有不同的求解方法，應該熟練掌握，典型方程可用固定的變量置換化簡并求解(如齊次方程、線性方程、伯努利方程、高階可降階方程、歐拉方程等)，如用公式求解一階線性方程，則應注意公式應用的條件——方程應化成標準形式，對于線性方程，應搞清解的結構理論及齊次線性常系數(shù)方程的特征方程及非齊次方程的特解的設定等.

第三，對于不屬于典型方程的方程，作變量代換是一個有效途徑，作什么樣的變量代換要結合具體方程的特點來考慮，一般以克服求解方程的困難為目標，選擇變量代換可采用試探方式，合適的、使方程得到化簡并順利求解的則采用，否則應重新選擇，平時應多練習，這樣可以幫助你選擇合適的變量代換.