2020考研數(shù)學(xué):導(dǎo)數(shù)的5大重點和8大應(yīng)用
作為考研課程中的公共課程,數(shù)學(xué)在其中起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)是考研學(xué)生最頭疼的科目,考研數(shù)學(xué)綜合性較強,所以數(shù)學(xué)是考研學(xué)子比較重視的一門。而大綱的發(fā)布意味著考研復(fù)習(xí)進(jìn)入強化階段,這一階段的高效復(fù)習(xí)非常關(guān)鍵。下面小編為大家整理了2020考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)重點及應(yīng)用,供大家參考。
【導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)要注意的】
第一,理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點,大部分以選擇題的形式出題,01年數(shù)一考一道選題,考查在一點處可導(dǎo)的充要條件,這個并不會直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件,他是變換形式后的,這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義,要記住幾個關(guān)鍵點:
1)在某點的領(lǐng)域范圍內(nèi)。
2)趨近于這一點時極限存在,極限存在就要保證左右極限都存在,這一點至關(guān)重要,也是01年數(shù)一考查的點,我們要從四個選項中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項。
3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點的函數(shù)值,如果已知告訴等于零,那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn),否就不能推出在這一點可導(dǎo),請同學(xué)們記清楚了。
4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書寫形式。
第二,導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計算。這里有幾種題型:1)已知某點處導(dǎo)數(shù)存在,計算極限,這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式,還要注意是在這一點處導(dǎo)數(shù)存在的前提下,否則是不一定成立的。
第三,導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在一點處可導(dǎo)與可微是等價的,可以推出在這一點處是連續(xù)的,反過來則是不成立的,相信這一點大家都很清楚,而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題:函數(shù)在一點處不連續(xù),則在一點處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。
第四,導(dǎo)數(shù)的計算。導(dǎo)數(shù)的計算可以說在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會涉及到,而且形式不一,考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題,首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計算弄明白:1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的,這也告訴我們在對函數(shù)變形到什么形式的時候就可以直接代公式,也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無非是四則運算,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo),要求四則運算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會寫出它的復(fù)合過程,按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了,也是通過這個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開辟了一條新路,建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系,從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式,這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式,也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路,在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過,請同學(xué)們注意。3)常見考試類型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類型:冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類型的求導(dǎo)方法要熟悉,并且可以解決他們之間的綜合題,有時候也會與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合,94年,96年,08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。
第五,高階導(dǎo)數(shù)計算。高階導(dǎo)數(shù)的計算在歷年考試出現(xiàn)過,比如03年,07年,10年,都以填空題考查的,00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個常見的高階導(dǎo)數(shù)公式,將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見的函數(shù),代入公式就可以了,也有通過求一階導(dǎo)數(shù),二階,三階的方法來找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的,00年出的題目就是考察的這兩個知識點。
【導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用】
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾種:(1)切線和法線;(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點;(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟應(yīng)用(只有數(shù)三的考)。我們一一說明每個應(yīng)用在考研中有哪些注意的。
?切線和法線
主要是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得出曲線在一點處的切線方程和法線方程。
?單調(diào)性
在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查,第一:求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二:證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三:不等式證明;第四:方程根的討論。這些題型都離不開導(dǎo)數(shù)的計算,只要按照步驟計算即可。做題過程中要仔細(xì)分析每種的處理方法,多加練習(xí)。
?極值
需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。
?凹凸性和拐點
考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多,使很多同學(xué)弄糊涂了,所以希望同學(xué)們可以列表對比學(xué)習(xí)記憶。
?漸近線
當(dāng)曲線上一點M沿曲線無限遠(yuǎn)離原點時,如果M到一條直線的距離無限趨近于零,那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是:并不是所有的曲線都有漸近線,漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。根據(jù)漸近線的位置,可將漸近線分為三類:垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。
考研中會考察給一曲線計算漸近線條數(shù),計算順序為垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。
?條數(shù)計算
垂直漸近線就直接算就可以了,有幾條算幾條,而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無窮計算一次,和x趨于負(fù)無窮計算一次,當(dāng)趨于正無窮和負(fù)無窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計為一條漸近線,若是不同,則計為兩條漸近線。另外,在趨于正無窮或者負(fù)無窮時,有水平漸近線就不會有斜漸近線。
?曲率
這塊屬于導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用,這塊是數(shù)一數(shù)二的同學(xué)考的,需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。
?導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用是數(shù)三特考的,這個主要是考察彈性,邊際利潤,邊際收益等。記住公式會計算即可。
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