線性代數(shù)知識點(diǎn)框架(二)_跨考網(wǎng)
在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中,涉及到一種重要的運(yùn)算,即把某一行的倍數(shù)加到另一行上,也就是說,為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判 斷它有沒有解,有多少解的問題,需要定義這樣的運(yùn)算,這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。
數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an),稱ai是a的第i個分量。
n元有序數(shù)組寫成一行,稱為行向量,同時它也可以寫為一列,稱為列向量。要注意的是,行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別,只是元素的寫法不同。
矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。
對給定的向量組,可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。
利用矩陣的列向量組,我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結(jié)論的雙向作用。
從簡單例子(如幾何空間中的三個向量)可以看到,如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出,則這三個向量共面,反之則不共面。為了研究向量個數(shù)更多時的類似情況,我們把上述兩種對向量組的描述進(jìn)行推廣,便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。
通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)(零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等)。
從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。
部分組線性相關(guān),整個向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān),延伸組線性無關(guān)。
回到線性方程組的解的問題,即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,...,an線性表出?如果這個向量組本身是線性無關(guān)的,可通過分析立即得到答案:b, a1, a2, ..., an線性相關(guān)。如果這個向量組本身是線性相關(guān)的,則需進(jìn)一步探討。
任意一個向量組,都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數(shù)找到它的一個部分組,這個部分組的特點(diǎn)是:本身線性無關(guān),從向量組的其余向量中任取一個進(jìn)去,得到的新的向量組都線性相關(guān),我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關(guān)組。
如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出,則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出,稱A和B等價。
一個向量組可能又不止一個極大線性無關(guān)組,但可以確定的是,向量組和它的極大線性無關(guān)組等價,同時由等價的傳遞性可知,任意兩個極大線性無關(guān)組等價。
注意到一個重要事實(shí):一個線性無關(guān)的向量組不能被個數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的,例如不共面的三個向量(對應(yīng)線性無關(guān))的確不可能由平面內(nèi)的兩個向量組成的向量組線性表出。
一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等,我們將這個數(shù)目r稱為向量組的秩。
向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價的向量組有相同的秩。
有了秩的概念以后,我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉,從而得到線性方程組的有解的充分必要條件:若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等,則有解,若不等,則無解。
向量組的秩是一個自然數(shù),由這個自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān),由此可見,秩是一個非常深刻而重要的概念,故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計算方法。?
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