2014考研數(shù)學復習:高數(shù)定理定義匯總_跨考網(wǎng)
2014考研數(shù)學復習:高數(shù)定理定義匯總
第一章 函數(shù)與極限
1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。
2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。
定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。
如果數(shù)列{xn}無界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。
定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。
3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關(guān)。
定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在著點那么x0的某一去心鄰域,當x在該鄰域內(nèi)時就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。
一般的說,如果lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。
4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.
5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準則也成立。
單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。
不連續(xù)情形:1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。
如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點,但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。
定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。
定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。
定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)<0),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點,即至少有一點ξ(a<ξ
推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。
第二章 導數(shù)與微分
1、導數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等,即左導數(shù)f-′(x0)右導數(shù)f+′(x0)存在相等。
2、函數(shù)f(x)在點x0處可導=>函數(shù)在該點處連續(xù);函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。
3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導,且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。
4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導;函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。
第三章 中值定理與導數(shù)的應(yīng)用
1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ
3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必達法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,那么:(1)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。
6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點,如果存在著點x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。
在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導數(shù)為0的點),但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。
定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導,且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零,即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導,且f’(x0)=0,那么:(1)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正;當x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為負,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為負;當x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正或恒為負,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。
定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)當f’’(x0)<0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當f’’(x0)>0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點,不是駐點也有可能是極值點。
7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。
定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。
判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0,檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號,如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號,那么當兩側(cè)的符號相反時,點(x0,f(x0))是拐點,當兩側(cè)的符號相同時,點(x0,f(x0))不是拐點。
在做函數(shù)圖形的時候,如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點,這些點也要作為分點。
2022考研初復試已經(jīng)接近尾聲,考研學子全面進入2023屆備考,跨考為23考研的考生準備了10大課包全程準備、全年復習備考計劃、目標院校專業(yè)輔導、全真復試模擬練習和全程針對性指導;2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復習了,跨考考研暢學5.0版本全新升級,無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復習,暑假集訓營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識點入門;個性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點離成功就更近一點!
點擊右側(cè)咨詢或直接前往了解更多
考研院校專業(yè)選擇和考研復習計劃 | |||
2023備考學習 | 2023線上線下隨時學習 | 34所自劃線院??佳袕驮嚪謹?shù)線匯總 | |
2022考研復試最全信息整理 | 全國各招生院??佳袕驮嚪謹?shù)線匯總 | ||
2023全日制封閉訓練 | 全國各招生院??佳姓{(diào)劑信息匯總 | ||
2023考研先知 | 考研考試科目有哪些? | 如何正確看待考研分數(shù)線? | |
不同院校相同專業(yè)如何選擇更適合自己的 | 從就業(yè)說考研如何擇專業(yè)? | ||
手把手教你如何選專業(yè)? | 高校研究生教育各學科門類排行榜 |
相關(guān)推薦
跨考考研課程
班型 | 定向班型 | 開班時間 | 高定班 | 標準班 | 課程介紹 | 咨詢 |
秋季集訓 | 沖刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+專業(yè)課1對1+專業(yè)課定向輔導+協(xié)議加強課程(高定班)+專屬規(guī)劃答疑(高定班)+精細化答疑+復試資源(高定班)+復試課包(高定班)+復試指導(高定班)+復試班主任1v1服務(wù)(高定班)+復試面授密訓(高定班)+復試1v1(高定班) | |
2023集訓暢學 | 非定向(政英班/數(shù)政英班) | 每月20日 | 22800起(協(xié)議班) | 13800起 | 先行階在線課程+基礎(chǔ)階在線課程+強化階在線課程+真題階在線課程+沖刺階在線課程+專業(yè)課針對性一對一課程+班主任全程督學服務(wù)+全程規(guī)劃體系+全程測試體系+全程精細化答疑+擇校擇專業(yè)能力定位體系+全年關(guān)鍵環(huán)節(jié)指導體系+初試加強課+初試專屬服務(wù)+復試全科標準班服務(wù) |